这是一枚平凡的骰子。它是一个均质凸多面体,表面有 nnn 个端点,有 fff 个面,每一面是一个凸多边形,且任意两面不共面。将这枚骰子抛向空中,骰子落地的时候不会发生二次弹跳(这是一种非常理想的情况)。你希望知道最终每一面着地的概率。每一面着地的概率可以用如下的方法计算:我们假设 OOO 为骰子的重心,并以 OOO 为球心,做半径为 111 的单位球面(记为 SSS)。我们知道 SSS 的表面积即单位球的表面积,为 4π4\pi4π,这里 π\piπ 为圆周率。对于骰子的某一面 CCC 来说,球面 SSS 上存在一块区域 TTT 满足:当下落时若骰子所受重力方向与 SSS 的交点落在 TTT 中,则 CCC 就是最终着地的一面。那么 CCC 着地的概率为区域 TTT 的面积除以 4π4\pi4π。为了能更好地辅助计算球面上一块区域的面积,我们给出单位球面 SSS 上三角形的面积计算公式。考虑单位球面 SSS 上的三个两两相交的大圆,交点依次为 AAA,BBB 和 CCC。则曲面三角形 ABCABCABC 的面积为 Area(ABC)=α+β+γ−π\text{Area}(ABC)=\alpha+\beta+\gamma-\piArea(ABC)=α+β+γ−π,其中 α\alphaα,β\betaβ 和 γ\gammaγ 分别对应了三个二面角的大小。如下图所示。
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我们保证:每一面着地的时候,重心的垂心都恰好在这一面内。也就是说不会出现摆不稳的情况。