这是一枚平凡的骰子。它是一个均质凸多面体，表面有 nnn 个端点，有 fff 个面，每一面是一个凸多边形，且任意两面不共面。将这枚骰子抛向空中，骰子落地的时候不会发生二次弹跳（这是一种非常理想的情况）。你希望知道最终每一面着地的概率。每一面着地的概率可以用如下的方法计算：我们假设 OOO 为骰子的重心，并以 OOO 为球心，做半径为 111 的单位球面（记为 SSS）。我们知道 SSS 的表面积即单位球的表面积，为 4π4\pi4π，这里 π\piπ 为圆周率。对于骰子的某一面 CCC 来说，球面 SSS 上存在一块区域 TTT 满足：当下落时若骰子所受重力方向与 SSS 的交点落在 TTT 中，则 CCC 就是最终着地的一面。那么 CCC 着地的概率为区域 TTT 的面积除以 4π4\pi4π。为了能更好地辅助计算球面上一块区域的面积，我们给出单位球面 SSS 上三角形的面积计算公式。考虑单位球面 SSS 上的三个两两相交的大圆，交点依次为 AAA，BBB 和 CCC。则曲面三角形 ABCABCABC 的面积为 Area(ABC)=α+β+γ−π\text{Area}(ABC)=\alpha+\beta+\gamma-\piArea(ABC)=α+β+γ−π，其中 α\alphaα，β\betaβ 和 γ\gammaγ 分别对应了三个二面角的大小。如下图所示。
我们保证：每一面着地的时候，重心的垂心都恰好在这一面内。也就是说不会出现摆不稳的情况。